例1【2016•德州模拟】
函数\(y＝x^2(x>0)\)的图像在点\((a_k，a_k^2)\)处的切线与\(x\)轴交点的横坐标为\(a_{k+1}\)，
其中 \(k\in N*\)，若\(a_1＝16\)，则\(a_1＋a_3＋a_5\)的值是________．
分析：由\(f'(x)=2x\)得，在点\((a_k，a_k^2)\)处的切线方程为\(y-a_k^2=2a_k(x-a_k)(k\in N*)\)，
令\(y=0\)，得到切线方程与\(x\)轴的交点的横坐标为\(x=\cfrac{a_k}{2}\)，
即\(a_{k+1}=\cfrac{a_k}{2}\)，即\(\cfrac{a_{k+1}}{a_k}=\cfrac{1}{2}\)，
故数列\(\{a_k\}\)是首项为\(a_1=16\)，公比为\(\cfrac{1}{2}\)的等比数列，
故\(a_1＋a_3＋a_5=16+16\cdot (\cfrac{1}{2})^2+16\cdot (\cfrac{1}{2})^4=21\)。
总结：1、求在点处的切线方程；2、等比数列
例2【】
对正整数\(n\)，设曲线\(y=(2-x)x^n\)在\(x=3\)处的切线与\(y\)轴交点的纵坐标为\(a_n\)，则数列\(\{\cfrac{a_n}{n+2}\}\)的前\(n\)项和为________。
分析：由于\(y=(2-x)x^n\)，则\(y'=-x^n+n(2-x)x^{n-1}\)；
则\(y'|_{x=3}=-3^n-n3^{n-1}=-3^{n-1}(n+3)\)；
故切线方程为\(y+3^n=-3^{n-1}(n+3)(x-3)\)，
令\(x=0\)，得到切线与\(y\)轴的交点的纵坐标为\(a_n=(n+2)3^n\)，
故\(\cfrac{a_n}{n+2}=3^n\)，为等比数列，
故数列\(\{\cfrac{a_n}{n+2}\}\)的前\(n\)项和为\(S_n=\cfrac{3(1-3^n)}{1-3}=\cfrac{3^{n+1}-3}{2}\)。
例3【】
对正整数\(n\)，设曲线\(y=(1-x)x^n\)在\(x=2\)处的切线与\(y\)轴交点的纵坐标为\(a_n\)，则数列\(\{\cfrac{a_n}{n+1}\}\)的前\(n\)项和\(T_n\)为________。
提示：\(T_n=2^{n+1}-2\)，仿上例完成。
分析：\(y=f(x)=x^n(1-x)=x^n-x^{n+1}\)，则\(f'(x)=nx^{n-1}-(n+1)x^n\)，
则\(k=f'(2)=n2^{n-1}-(n+1)2^n=n2^{n-1}-(n+1)2^{n-1}\cdot 2=n2^{n-1}-(2n+2)2^{n-1}=2^{n-1}(n-2n-2)=-(n+2)\cdot 2^n\)
又切点为\((2，-2^n)\)，则切线方程为\(y-(-2^n)=-(n+2)2^n(x-2)\)，
令\(x=0\)，得到切线与\(y\)轴交点的纵坐标\(y=(n+1)2^n=a_n\)，
令\(b_n=\cfrac{a_n}{n+1}=2^n\)，数列\(\cfrac{a_n}{n+1}\)的前\(n\)项和为\(T_n=2+2^2+2^3+\cdots+2^n=\cfrac{2(2^n-1)}{2-1}=2^{n+1}-2\)；
例4【2015\(\cdot\)高考安徽卷】
设\(n\in N^*\)，\(x_n\)是曲线\(y=x^{2n+2}+1\)在点\((1，2)\)处的切线与\(x\)轴交点的横坐标。
(1)、求数列\(\{x_n\}\)的通项公式。
分析：\(y'=(x^{2n+2}+1)'=(2n+2)x^{2n+1}\)，
则曲线\(y=x^{2n+2}+1\)在点\((1，2)\)处的切线斜率为\(2n+2\)，
从而切线方程为\(y-2=(2n+2)(x-1)\)，令\(y=0\)，
解得切线与\(x\)轴交点的横坐标\(x_n=1-\cfrac{1}{n+1}=\cfrac{n}{n+1}\)，
所以数列\(\{x_n\}\)的通项公式为\(x_n=\cfrac{n}{n+1}\)。
(2)、记\(T_n=x_1^2x_3^2\cdots x_{2n-1}^2\)，证明：\(T_n\ge \cfrac{1}{4n}\)。
分析：由题设和(1)中的计算结果可知，
\(T_n=x_1^2x_3^2\cdots x_{2n-1}^2=(\cfrac{1}{2})^2\cdot (\cfrac{3}{4})^2\cdots (\cfrac{2n-1}{2n})^2\)，
当\(n=1\)时，\(T_1=\cfrac{1}{4}\)；
当\(n\ge 2\)时，由于\(x_{2n-1}^2=(\cfrac{2n-1}{2n})^2=\cfrac{(2n-1)^2}{(2n)^2}\)
\(>\cfrac{(2n-1)^2-1}{(2n)^2}=\cfrac{2n-2}{2n}=\cfrac{n-1}{n}\)；
则\(x_1^2=(\cfrac{1}{2})^2\)，
\(x_3^2> \cfrac{1}{2}\)
\(x_5^2> \cfrac{2}{3}\)
\(\cdots\)，
\(x_{2n-3}^2> \cfrac{n-2}{n-1}\)
\(x_{2n-1}^2> \cfrac{n-1}{n}\)
所以，\(T_n>(\cfrac{1}{2})^2\times \cfrac{1}{2}\times \cfrac{2}{3}\times \cdots \times \cfrac{n-2}{n-1}\times\cfrac{n-1}{n}=\cfrac{1}{4n}\)；
综上可知，对任意的\(n\in N^*\)，均有\(T_n\ge \cfrac{1}{4n}\)。
例5【2019\(\cdot\)高三理科数学资料用题】
对于每一个正整数\(n\)，设曲线\(y=x^{n+1}\)在点\((1，1)\)处的切线与\(x\)轴的交点的横坐标为\(x_n\)，令\(a_n=lgx_n\)，则\(a_1+a_2+\cdots+a_{99}\)=_____________。
分析：\(y'=(n+1)x^n\)，则曲线在点\((1，1)\)处的切线的斜率为\(k=n+1\)，
则切线方程为\(y-1=(n+1)(x-1)\)，
令\(y=0\)，得到\(x_n=\cfrac{n}{n+1}\)，
则\(a_n=lgx_n=lg\cfrac{n}{n+1}\)
所以\(a_1+a_2+\cdots+a_{99}=lg(\cfrac{1}{2}\times \cfrac{2}{3}\times\cfrac{3}{4}\times\cdots\times\cfrac{99}{100})\)
\(=lg \cfrac{1}{100}=-2\)。